好难好难啊（数学题）1,设有N个实数：X1,X2,X3······Xn,其中每一个数不是+1就是-X1X2X3X(n-1)Xn且——+----+----+```````+------+----=0X2X3X4XnX1求证：N是4的倍数.2、在一个圆周上,依次排列

Question

好难好难啊（数学题）
1,设有N个实数：X1,X2,X3······Xn,其中每一个数不是+1就是 - X1 X2 X3 X(n-1) Xn
且 ——+ ---- + ---- +```````+ ------+ ---- =0
X2 X3 X4 Xn X1
求证：N是4的倍数.
2、在一个圆周上,依次排列n个点,A1,A2,A3······An 对于每个点任意染上白色或黑色.
证明：在连接相邻两点的n条圆弧：A1,A2,A3······A（n-1)An中,端点颜色不同的圆弧的条数必是偶数.
第一题的
其中每一个数不是+1就是 -1，
X1 X2 X3 X(n-1) Xn
——— + —-——+ ———+···+————+————=0
X2 X3 X4 Xn X1

Answer 1

1.证明：由题意可知X1/X2,X2/X3,…,Xn/X1只可能是1或者-1
因为X1/X2+X2/X3+…+Xn/X1=0
所以说n必然是偶数
{Xn}中必然会同时存在1和-1,不然X1/X2+X2/X3+…+Xn/X1=0不能成立
因为在等式X1/X2+X2/X3+…+Xn/X1=0中每个Xi都出现了2次,
所以在等式X1/X2+X2/X3+…+Xn/X1=0中-1的个数一定是偶数个,
又等式X1/X2+X2/X3+…+Xn/X1=0中1的个数与-1的个数相等,所以总数肯定是4的倍数,即n是4的倍数
2.把每段弧都分离出来,那么由于每段弧的两个端点都出现了2次,
所以分离后黑点和白点的数量都是偶数
假设端点颜色不同的圆弧的条数是奇数,
那么端点颜色不同的圆弧有奇数个黑点和奇数个白点,而圆弧两端颜色相同的圆弧中所有黑点是偶数个,白点也是偶数个
那么这时所有圆弧的黑点和白点总数都是奇数,产生矛盾
所以端点颜色不同的圆弧的条数必是偶数.