已知一个正倒立的圆锥容器中装有一定的水，现放入一个小球后，水面恰好淹过小球（水面与小球相切），且圆锥的轴截面是等边三角形，则容器中水的体积与小球的体积之比为．

Question

已知一个正倒立的圆锥容器中装有一定的水，现放入一个小球后，水面恰好淹过小球（水面与小球相切），且圆锥的轴截面是等边三角形，则容器中水的体积与小球的体积之比为___．

Answer 1

如图．在容器内注入水，并放入一个半径为r的铁球，这时水面记为AB，
将球从圆锥内取出后，这时水面记为EF．
三角形PAB为轴截面，是正三角形，
三角形PEF也是正三角形，圆O是正三角形PAB的内切圆．
由题意可知，DO=CO=r，AO=2r=OP，AC=√(3)r
∴V_球=(4)/(3)πr3，V_PC=(1)/(3)π•3r2•3r=3πr³
又设HP=h，则EH=(√(3))/(3)h
∴V_水=(1)/(3)π•(1)/(3)h2•h=(π)/(9)h3
∵V_水+V_球=V_PC
即 (π)/(9)h3+(4)/(3)πr3=3πr³，
∴h³=15r³，
容器中水的体积与小球的体积之比为(π)/(9)h3：(4)/(3)πr3=5：4．
故答案为5：4．