如图1所示,一张三角形纸片,角ACB=90,ac=8.bc=6.沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成0|

Question

如图1所示,一张三角形纸片,角ACB=90,ac=8.bc=6.沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成 0 |

Answer 1

原题：一张三角形纸片ABC,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成△AC1D1和△BC2D2两个三角形（如图2）,将△AC1D1沿直线D2B（AB）方向平移（点A,D1,D2,B始终在同一直线上）,当点D1与点B重合时停止平移,在平移的过程中,C1D1与BC2交于点E,AC1与C2D2、C2B分别交于点F、P．
（1）当△AC1D1平移到如图3所示位置时,猜想D1E与D2F的数量关系,并证明你的猜想；
（2）设平移距离D2D1为x,△AC1D1和△BC2D2重叠（阴影）部分面积为y,试求y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围．
1、解（1）D1E=D2F,
∵C1D1‖C2D2,
∴∠C1=∠AFD2．
又∵∠ACB=90°,CD是斜边上的中线,
∴DC=DA=DB,即C1D1=C2D2=BD2=AD1,
∴∠C1=∠A,
∴∠AFD2=∠A,
∴AD2=D2F；
同理：BD1=D1E．
又∵AD1=BD2,
∴AD2=BD1．
∴D1E=D2F．
（2）∵在RtABC中,AC=8,BC=6,
∴由勾股定理,得AB=10,
即AD1=BD2=C1D1=C2D2=5；
又∵C2D1=x,
∴D1E=BD1=D2F=AD2=5-x,
∴C2F=C1E=x,
∵在△BC2D2中,C2到BD2的距离就是△ABC的AB边上的高为 ,△BC2D2的面积= 5× =12,
∴设△BED1的BD1边上的高为h,
∵C1D1‖C2D2,
∴△BC2D2∽△BED1,
∴ = ,
∴h= ,
∴△BED1的面积= BD1×h= × = （5-x）2,
又∵∠C1+∠C2=90°,
∴∠FPC2=90°；
又∵∠C2=∠B,
∴△C2FP∽△BAC,
∴C2F：BA=PF：AC,
∴PC2= x,PF= x；
∴△C2FP的面积= x2,
故y=△BC2D2的面积-△BED1的面积-△C2FP的面积= x2+ x．（0≤x≤5）
中间看不见的部分给你做了截图.