如图，斜三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ACC1A1⊥平面BCC1B1，E为棱CC1的中点，A1B与AB1交于点O．若AC=CC1=2BC=2，∠ACC1=∠CBB1=60°．（Ⅰ）证明：直线OE∥平面ABC；（Ⅱ）证明：平面ABE⊥平面AB1E；（Ⅲ）求

Question

如图，斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面ACC₁A₁⊥平面BCC₁B₁，E为棱CC₁的中点，A₁B与AB₁交于点O．若AC=CC₁=2BC=2，∠ACC₁=∠CBB₁=60°．

（Ⅰ）证明：直线OE∥平面ABC；
（Ⅱ）证明：平面ABE⊥平面AB₁E；
（Ⅲ）求直线A₁B与平面ABE所成角的正弦值．

Answer 1

（Ⅰ）取BB₁的中点F，连结OF，EF．
∵E，O分别为CC₁，BA₁的中点，
∴OF∥AB，EF∥BC，
∵OF⊄平面ABC，EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，
∴OF∥平面ABC，EF∥平面ABC，
又OF⊂平面OEF，EF⊂平面OEF，OF∩EF=F，
∴平面OEF∥平面ABC，∵OE⊂平面OEF，
∴直线OE∥平面ABC．                            
（Ⅱ）∵AC=2CE=2，∠ACC₁=60°，
∴AE⊥CC₁，
∵平面ACC₁A₁⊥平面BCC₁B₁，平面ACC₁A₁∩平面BCC₁B₁=CC₁，AE⊂平面ACC₁A₁，
∴AE⊥平面BCC₁B₁，
∴AE⊥BE．
∵BC=CE=EC₁=C₁B₁=1，∠CBB₁=60°，
∴∠CEB=30°，∠C₁EB₁=60°，
∴∠BEB₁=90°，即BE⊥EB₁．
又AE⊂平面AB₁E，B₁E⊂平面AB₁E，AE∩B₁E=E，
∴BE⊥平面AB₁E，∵BE⊂平面ABE，
∴平面ABE⊥平面AB₁E．                          
（Ⅲ）作OM⊥AE，M为垂足，连结BM．
由（Ⅱ）知OM⊥平面ABE，
∴∠OBM即为直线A₁B与平面ABE所成角．             
∵OM⊥AE，EB₁⊥AE，
∴OM∥EB₁，又O为AB₁的中点，
∴OM=(1)/(2)EB₁=(1)/(2)，EM=(1)/(2)AE=(√(3))/(2)，
∴BM=(√(15))/(2)，从而BO=2，
∴sin∠OBM=(1)/(4)，即直线A₁B与平面ABE所成角的正弦值为(1)/(4)．