已知抛物线y=-x^2+1,求其第一象部分限一切点p（x0,y0）,使该点切线与抛物线和两坐标轴围成的面积最小

Question

已知抛物线y=-x^2+1,求其第一象部分限一切点p（x0,y0）,使该点切线与抛物线和两坐标轴围成的面积最小

Answer 1

对抛物线求导
y'=-2*x
即切线斜率为-2*x0
切点为(x0,-(x0)^2+1)
所以切线方程为
y+(x0)^2-1=-2*(x0)*(x-x0)
该直线与坐标轴的交点为
(0,(x0)^2+1),(((x0)^2+1)/(2*x0),0)
所以面积为1/2*((x0)^2+1)^2/(2*x0)=1/4*((x0)^3+2*x0+1/x0)
对该算式求导,得3*(x0)^2+2-1/(x0)^2=0
解得x0=±sqrt(3)/3
又因为该点在第一象限,所以p点为(sqrt(3)/3,2/3)