an+1=-1/2an+n,a1=1,求an（尽量用配凑法做出来）

Question

an+1=-1/2an+n,a1=1,求an （尽量用配凑法做出来）

Answer 1

设a(n+1)+p(n+1)+q=-1/2(an+pn+q),(p,q为待定的常数)
a(n+1)+p(n+1)+q=-1/2 an-pn/2-q/2,
移项整理可得：an+1=-1/2an-3pn/2-p-3q/2,
与已知an+1=-1/2an+n比较可得：-3p/2=1,-p-3q/2=0,
所以p=-2/3,q=4/9.
∴a(n+1)-2/3*(n+1)+4/9=-1/2(an-2/3*n+4/9)
这说明数列{ an-2/3*n+4/9}是公比为-1/2的等比数列,
首项为a1-2/3*1+4/9=7/9.
所以an-2/3*n+4/9=7/9*(-1/2)^(n-1),
∴an=7/9*(-1/2)^(n-1) +2/3*n-4/9.