已知直线l：4x+3y+10=0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方（1）求圆C的方程；（2）过点M（1，0）的直线与圆C交于A，B两点（A在x轴上方），问在x轴正半轴上是否存在定点N

Question

已知直线l：4x+3y+10=0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方

（1）求圆C的方程；
（2）过点M（1，0）的直线与圆C交于A，B两点（A在x轴上方），问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）设圆心C（a，0）（a>-(5)/(2)），
∵直线l：4x+3y+10=0，半径为2的圆C与l相切，
∴d=r，即 (|4a+10|)/(5)=2，
解得：a=0或a=-5（舍去），
则圆C方程为x²+y²=4；
（2）当直线AB⊥x轴，则x轴平分∠ANB，
若x轴平分∠ANB，则k_AN=-k_BN，即(k(x1-1))/(x1-t)+(k(x2-1))/(x2-t)=0，
整理得：2x₁x₂-（t+1）（x₁+x₂）+2t=0，即(2(k2-4))/(k2+1)-(2k2(t+1))/(k2+1)+2t=0，
解得：t=4，
当点N（4，0），能使得∠ANM=∠BNM总成立．