已知某星球半径为R，若宇航员随登陆舱登陆该星球后，在此星球表面某处以速度v0竖直向上抛出一个小球，小球能上升的最大高度为H（H<<R），（不考虑星球自转的影响，引力常量为G）

Question

已知某星球半径为R，若宇航员随登陆舱登陆该星球后，在此星球表面某处以速度v₀竖直向上抛出一个小球，小球能上升的最大高度为H（H<<R），（不考虑星球自转的影响，引力常量为G）．
（1）求星球表面的自由落体加速度和该星球的质量；
（2）在登陆前，宇宙飞船绕该星球做匀速圆周运动，运行轨道距离星球表面高度为h，求卫星的运行周期T．

Answer 1

（1）、在星球表面，抛出小球后做竖直上抛运动，
由

v

2 0

=2gH
可得表面的重力加速度g=(v20)/(2H)
星球表面的物体受到的重力等于万有引力
G(Mm)/(R2)=mg
可得星球的质量M=(gR2)/(G)=(v20R2)/(2GH)
（2）根据万有引力提供飞船圆周运动的向心力
G(Mm)/((R+h)2)=m(4π2)/(T2)(R+h)
有飞船的周期为T=√((4π2(R+h)3)/(GM))=(2π(R+h))/(Rv0)√(2(R+h)H)
答：（1）求星球表面的自由落体加速度为(v20)/(2H)，该星球的质量为(v20R2)/(2GH)；
（2）在登陆前，宇宙飞船绕该星球做匀速圆周运动，运行轨道距离星球表面高度为h，卫星的运行周期T为(2π(R+h))/(Rv0)√(2(R+h)H)．