如图所示，质量为0.3kg的小车静止在光滑轨道上，在它的下面挂一个质量为0.1kg的小球B，车旁有一支架被固定在轨道上，支架上O点悬挂一个质量仍为0.1kg的小球A，两球的球心至悬挂点的距离

Question

如图所示，质量为0.3kg的小车静止在光滑轨道上，在它的下面挂一个质量为0.1kg的小球B，车旁有一支架被固定在轨道上，支架上O点悬挂一个质量仍为0.1kg的小球A，两球的球心至悬挂点的距离均为0.2m．当两球静止时刚好相切，两球心位于同一水平线上，两条悬线竖直并相互平行．若将A球向左拉到图中的虚线所示的位置后从静止释放，与B球发生碰撞，如果碰撞过程中无机械能损失，求：
（1）碰撞前A球的速度是多少；
（2）碰撞后B球上升的最大高度；
（3）小车所能获得的最大速度．

Answer 1

（1）如图4，A球从静止释放后将自由下落至C点悬线绷直，此时速度为v_C
v_C²=2g×2Lsin30°，
得：v_C=√(2gL)
代入数据得：v_c=2m/s．
在线绷直的过程中沿线的速度分量减为零时，A将以切向速度v₁沿圆弧运动，且：
v₁=v_Ccos30°=2×(√(3))/(2)=√(3)m/s．
（2）A球从C点运动到最低点与B球碰撞前机械能守恒，可求出A球与B球碰前的速度
(1)/(2)m_Av₁²+m_AgL（1-cos60°）=(1)/(2)m_Av₂²，
v₂=√(v21+gL)=√(3+10×0.2)=√(5)m/s．
因A、B两球发生无能量损失的碰撞且m_A=m_B，所以它们的速度交换，即碰后A球的速度为零，B球的速度为v₂=√(5)（m/s）．对B球和小车组成的系统水平方向动量守恒和机械能守恒，当两者有共同水平速度u时，B球上升到最高点，设上升高度为h．
m_Bv₂=（m_B+M）u，(1)/(2)m_Bv₂²=(1)/(2)（m_B+M）u²+m_Bgh．
解得：h≈0.19m．
（3）在B球回摆到最低点的过程中，悬线拉力仍使小车加速，当B球回到最低点时小车有最大速度v_m，设小球B回到最低点时速度的大小为v₃，根据动量守恒定律和机械能守恒定律有：
m_Bv₂=-m_Bv₃+Mv_m，
(1)/(2)m_Bv₂²=(1)/(2)m_Bv₃²+(1)/(2)Mv_m²，
解得：v_m=(2mBv2)/(m3+M)
代入数据的：v_m=(√(5))/(2)m/s=1.12m/s．
答：（1）碰撞前A球的速度是√(3)m/s；
（2）碰撞后B球上升的最大高度为0.19m；
（3）小车所能获得的最大速度为1.12m/s．