条件概率袋中有a个红球,b个黑球,有放回的摸球,求概率1.A=｛在n次摸球中有k次是红球｝2.B=｛第k次首次摸到红球｝3.C={第r次摸到红球是恰好摸了k次球}

Question

条件概率
袋中有a个红球,b个黑球,有放回的摸球,求概率
1.A=｛在n次摸球中有k次是红球｝
2.B=｛第k次首次摸到红球｝
3.C={第r次摸到红球是恰好摸了k次球}

Answer 1

有放回的摸球模型,处理方法是将摸出的球按顺序放在一条直线上,因此要考虑摸球的顺序.
1）n次有放回摸球共有(a+b)^n种摸法；
从n次中选k次来摸红球,有C(n,k)种方法,每一个位置摸红球,有a种方法,k个位子共a^k种方法,其余n-k个位置摸到黑球,有b^(n-k)摸法,因此
P(A)=C(n,k)*a^k*b^(n-k) / (a+b)^n
2）摸k次球,有(a+b)^k种方法,前k-1次都摸到黑球,有b^(k-1)种方法,最后一次摸到红球,有a种摸法于是
P(B)=b^(k-1)*a / (a+b)^k
3）前k-1次摸到r-1次红球k-r次黑球,第k次一定摸到红球.
在k-1次中,选r-1次来摸红球,有C(k-1,r-1)种选法,这r-1次中摸红球有a^(r-1)方法；余下的k-r次摸到黑球有b^(k-r)种方法；最后第k次摸到红球,有a种方法；
随机摸k次球,有(a+b)^k种方法；于是：
P(C)=C(k-1,r-1)*a^(r-1)*b^(k-r) / (a+b)^k