如图所示，一砂袋用不可伸长的轻绳悬于O点．开始时砂袋处于静止状态，此后用弹丸以水平速度击中砂袋后均未穿出．第一次弹丸的速度大小为v0，打入砂袋后二者共同摆动的最大摆角为θ

Question

如图所示，一砂袋用不可伸长的轻绳悬于O点．开始时砂袋处于静止状态，此后用弹丸以水平速度击中砂袋后均未穿出．第一次弹丸的速度大小为v₀，打入砂袋后二者共同摆动的最大摆角为θ（θ<90°），当其第一次返回图示位置时，第二粒弹丸以另一水平速度v又击中砂袋，使砂袋向右摆动且最大摆角仍为θ．若弹丸质量均为m，砂袋质量为7m，弹丸和砂袋形状大小均忽略不计，子弹击中沙袋后漏出的沙子质量忽略不计，重力加速度为g，求：
①轻绳长度L（用θ、g、v₀表示）；
‚②两粒弹丸的水平速度之比v₀/v为多少？

Answer 1

①设碰后弹丸和砂袋的共同速度为v₁，细绳长为L，
弹丸击中砂袋过程系统动量守恒，以向右为正方向，
由动量守恒定律得：：mv₀=（m+7m）v₁，
砂袋摆动过程中只有重力做功，机械能守恒，
由机械能守恒定律得：(1)/(2)•8m

v

2 1

=8mgL(1-cosθ)，
解得：L=(v20)/(128g(1-cosθ))；
②设第二粒弹丸击中砂袋后弹丸和砂袋的共同速度为v₂，
以向右为正方向，由动量守恒定律得：mv-（m+7m）v₁=（m+8m）v₂
由机械能守恒定律得：(1)/(2)•9m

v

2 2

=9mgL(1-cosθ)，
解得：v₂=v₁，联解上述方程得(v0)/(v)=(8)/(17)
答：①轻绳长度L为(v20)/(128g(1-cosθ))；
‚②两粒弹丸的水平速度之比(v0)/(v)为8：17．