给定双曲线x^2-y^2/2=1,过点B（1,1）,是否能作直线m,是她与所给的双曲线教育两点Q1及Q2,且点B是线段Q1Q2的中点?这样的m如果存在,求出它的方程,如果不存在,说明理由.

Question

给定双曲线x^2-y^2/2=1,过点B（1,1）,是否能作直线m,是她与所给的双曲线教育两点Q1及Q2,且点B是线段Q1Q2的中点?这样的m如果存在,求出它的方程,如果不存在,说明理由.

Answer 1

给定双曲线x^2-y^2/2=1,过点B(1,1),是否能作直线m,使之与所给双曲线相交于Q1、Q2两点,且点B是线段Q1Q2的中点?这样的m如果存在,求出它的方程,如果不存在,说明理由.
这样的直线m不存在.证明如下：
假设这样的直线m存在,显然m不能与坐标轴平行,且m不能与双曲线的渐进线平行（否则与双曲线只有一个交点）,即斜率k不能为±1.
设Q1(x1,y1),Q2(x2,y2),则x1≠x2,
因为Q1、Q2的中点为B,所以
x1+x2=2,y1+y2=2,…………①②③
Q1、Q2在双曲线上,x1^2-y1^2/2=1,x2^2-y2^2/2=1,
两式相减,(x2^2-x1^2)-(y2^2-y1^2)=0,
(x2^2-x1^2)=(y2^2-y1^2)=0,
因为x1≠x2,所以,(y2-y1)/(x2-x1)=(x2+x1)/(y2+y1)=2/2=1,（考虑等式①）
即k=1,这与k≠±1矛盾.
故这样的直线m不存在.