若有限集合a有n个元素，则a的子集个数是2的n次方.这句话是啥意思

Question

若有限集合a有n个元素，则a的子集个数是2的n次方.这句话是啥意思

Answer 1

2^n - 1, 2^n - 2
证：设元素编号为1, 2, ... n。每个子集对应一个长度为n的二进制数, 数的第i位为1表示元素i在集合中，0表示元素i不在集合中。
00...0(n个0) ~ 11...1(n个1) [二进制]
一共有2^n个数，因此对应2^n个子集，去掉11...1(即全1，表示原来的集合A)则有2^n-1个真子集，再去掉00...0(即全0，表示空集）则有2^n-2个非空真子集
比如说集合{a, b, c}元素编号为a--1, b--2, c--3
111 {a, b, c} --> 即集合A
110 {a, b, } --> 元素1(a), 元素2(b)在子集中
101 {a, , c} --> 元素1(a), 元素3(c)在子集中
... ...
001 { , , c}
000 { , , } --> 即空集
如果你学过排列组合，可以有更简单的证明。