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在△ABC中,AB=AC,D是直线BC上一点,以AD为一边在AD的右侧作△ADE,使AE=AD,∠DAE=∠BAC,连接CE.设∠BAC=α,∠DCE=β.(1)如图(1),点D在线段BC上移动时,角α与β之间的数量关系是;
题目详情
在△ABC中,AB=AC,D是直线BC上一点,以AD为一边在AD的右侧作△ADE,使AE=AD,∠DAE=∠BAC,连接CE.设∠BAC=α,∠DCE=β.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/d53f8794a4c27d1e9309804018d5ad6eddc43802.jpg)
(1)如图(1),点D在线段BC上移动时,角α与β之间的数量关系是______;证明你的结论;
(2)如图(2),点D在线段BC的延长线上移动时,角α与β之间的数量关系是______,请说明理由;
(3)当点D在线段BC的反向延长线上移动时,请在图(3)中画出完整图形并猜想角α与β之间的数量关系是______.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/d53f8794a4c27d1e9309804018d5ad6eddc43802.jpg)
(1)如图(1),点D在线段BC上移动时,角α与β之间的数量关系是______;证明你的结论;
(2)如图(2),点D在线段BC的延长线上移动时,角α与β之间的数量关系是______,请说明理由;
(3)当点D在线段BC的反向延长线上移动时,请在图(3)中画出完整图形并猜想角α与β之间的数量关系是______.
▼优质解答
答案和解析
(1)α+β=180°.![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/aa18972bd40735fab7dff53d9d510fb30f240802.jpg)
∵∠DAE=∠BAC,
∴∠DAE-∠DAC=∠BAC-∠DAC,
∴∠CAE=∠BAD.
在△ABD和△ACE中
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴∠ABD=∠ACE,![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/0b55b319ebc4b7452fbb0c92ccfc1e178a821502.jpg)
∵∠BAC+∠ABD+∠ACB=180°,
∴∠BAC+∠ACE+∠ACB=180°,
∴∠BAC+∠BCE=180°,
即α+β=180°.
(2)α=β;
理由:∵∠DAE=∠BAC,
∴∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD,
∴∠BAD=∠CAE.
在△ABD和△ACE中,
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴∠ABD=∠ACE,
∵∠ACD=∠ABD+∠BAC=∠ACE+∠DCE,![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/0b46f21fbe096b634336e5d40f338744ebf8ac03.jpg)
∴∠BAC=∠DCE,即α=β.
(3)α=β.
理由:如图3,∵∠DAE=∠BAC,
∴∠DAE-∠BAE=∠BAC-∠BAE
∴∠BAD=∠CAE.
在△ABD和△ACE中,
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴∠ABD=∠ACE,
∵∠ACE=∠ACD+∠DCE,∠ABD=∠ACD+∠BAC,
∴∠ACD+∠DCE=∠ACD+∠BAC,
∴∠BAC=∠DCE,
即α=β.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/aa18972bd40735fab7dff53d9d510fb30f240802.jpg)
∵∠DAE=∠BAC,
∴∠DAE-∠DAC=∠BAC-∠DAC,
∴∠CAE=∠BAD.
在△ABD和△ACE中
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∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴∠ABD=∠ACE,
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/0b55b319ebc4b7452fbb0c92ccfc1e178a821502.jpg)
∵∠BAC+∠ABD+∠ACB=180°,
∴∠BAC+∠ACE+∠ACB=180°,
∴∠BAC+∠BCE=180°,
即α+β=180°.
(2)α=β;
理由:∵∠DAE=∠BAC,
∴∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD,
∴∠BAD=∠CAE.
在△ABD和△ACE中,
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∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴∠ABD=∠ACE,
∵∠ACD=∠ABD+∠BAC=∠ACE+∠DCE,
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/0b46f21fbe096b634336e5d40f338744ebf8ac03.jpg)
∴∠BAC=∠DCE,即α=β.
(3)α=β.
理由:如图3,∵∠DAE=∠BAC,
∴∠DAE-∠BAE=∠BAC-∠BAE
∴∠BAD=∠CAE.
在△ABD和△ACE中,
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∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴∠ABD=∠ACE,
∵∠ACE=∠ACD+∠DCE,∠ABD=∠ACD+∠BAC,
∴∠ACD+∠DCE=∠ACD+∠BAC,
∴∠BAC=∠DCE,
即α=β.
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