用向量方法证明下列问题,不允许添加辅助线或用梅涅劳斯定理7、点O是平面ABC上任意一点,点I是△ABC内心的充要条件是：向量OI=[a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)]/(a+b+c)．

Question

用向量方法证明下列问题,不允许添加辅助线或用梅涅劳斯定理
7、点O是平面ABC上任意一点,点I是△ABC内心的充要条件是：向量OI=[a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)]/(a+b+c)．

Answer 1

证明：设三角形ABC,AD为BC边上的角平分线,内心为I.
|BC|=a,|AC|=b,|AB|=c
aIA+bIB+cIC
=aIA+b(AB+IA)+c(AC+IA)
=(a+b+c)IA+b(DB-DA)+c(DC-DA)
设BC的方向向量e,则DB=e|DB|,DC=-e|DC|
又由角平分线定理,|DB|/|DC|=c/b,所以bDB+cDC=0
(a+b+c)IA+b(DB-DA)+c(DC-DA)= (a+b+c)IA- b DA- c DA =aIA+(b+c)ID
又因为IA、ID反向,用角平分线定理和合比定理：
b/CD=c/BD=(b+c)/(CD+BD)=(b+c)/a, b/CD=IA/ID,
所以IA/ID=(b+c)/a , 又因为IA、ID反向,
故aIA+bIB+cIC=aIA+(b+c)ID =0.
而aIA+bIB+cIC=a(OA-OI) +b(OB-OI)+c(OC-OI)
=-(a+b+c)OI+( aOA+bOB+cOC)
∴-(a+b+c)OI+( aOA+bOB+cOC)=0,
OI=(aOA+bOB+cOC)/(a+b+c)