数学充分性判断f(x)除以x^2+x+1余x+3(1)f(x)除以x^4+x^2+1余x^3+x^2+3x+4(2)f(x)除以x^4+x^2+1余x^3+x+2两个都充分,为什么?

Question

数学充分性判断
f(x)除以x^2+x+1余x+3
(1)f(x)除以x^4+x^2+1 余x^3+x^2+3x+4
(2)f(x)除以x^4+x^2+1 余x^3+x+2
两个都充分,为什么?

Answer 1

证：x^4+x^2+1=(x^2+x+1)(x^2-x+1)
因为觉得你的条件（1）有问题,所以先证（2）是充分条件.
f(x)=g(x)(x^4+x^2+1)+x^3+x+2
=[g(x)(x^2-x+1)](x^2+x+1)+(x^3+x^2+x)-x^2+2
=[g(x)(x^2-x+1)](x^2+x+1)+x(x^2+x+1)-(x^2+x+1)+x+1+2
=[g(x)(x^2-x+1)+x-1](x^2+x+1)+x+3
=h(x)(x^2+x+1)+x+3
所以由（2）可推出f(x)除以x^2+x+1余x+3,即（2）是f(x)除以x^2+x+1余x+3
的充分条件.
再证（1）是充分条件,和上面的方法一样
f(x)=g(x)(x^4+x^2+1)+x^3+x^2+3x+4
=[g(x)(x^2-x+1)](x^2+x+1)+(x^3+x^2+x)+2x+4
=[g(x)(x^2-x+1)](x^2+x+1)+x(x^2+x+1)+2x+4
但是这个结果不知道为什么就是不等于x+3Orz|||
无能了,反正方法就是,把式子往x^2+x+1上化