如图,△ABC为一个等腰三角形形状的空地,腰CA的长为3（百米）,底AB的长为4（百米）,现决定在该空地内筑一条笔直的小路EF（宽度不计）,将该空地分成一个四边形和一个三角形,设分成的四边

Question

如图,△ABC为一个等腰三角形形状的空地,腰CA的长为3（百米）,底AB的长为4（百米）,现决定在该空地内筑
一条笔直的小路EF（宽度不计）,将该空地分成一个四边形和一个三角形,设分成的四边形和三角形的周长相等,面积分别为S1和S2.
（1）若小路一端E为AC中点,求此时小路的长度
（2）若E、F分别在AC和AB上,求S1/S2的最小值
（3）若E、F分别在AC和BC上,求S1/S2的最小值

Answer 1

(1)因为：AE=CE=3/2 AE+4>CE+3 所以F不在BC上,
AE+AF+EF=CE+CB+FB+EF
所以AE=CE AF=CB+BF 4-BF=BF+3 BF=1/2
cosA=(AC^2+AB^2-BC^2)/2AC*AB=2/3
所以EF^2=AE^2+AF^2-2AE*AF*cosA=15/2
所以EF=(根号30)/2
(2) sinA=(根号5)/3
设AE=x,AF=y,
所以S2=(1/2)xysinA =(根号5 )xy/6
S1=S三角形ABC-S2=2(根号5)-S2
因为x+y=3-x+4-y+3
所以x+y=5
S1/S2={2(根号5)/[(根号5 )xy/6 ]}-1
xy=48/25
所以S1/S2>=23/25
当且仅当x=y=5/2时取等号
最小值是23/25
(3)c/sinC=a/sinA sinC=(4根号5)/9
设CE=x,CF=y
由第二小题可得S1/S2>=11/25
当且仅当x=y=5/2取等号
最小值是11/25