在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程ρ=2cosθ，θ∈[0，π2]．（Ⅰ）求C的参数方程；（Ⅱ）设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y=3x+2垂直

Question

在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程ρ=2cosθ，θ∈[0，(π)/(2)]．
（Ⅰ）求C的参数方程；
（Ⅱ）设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y=√(3)x+2垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D的坐标．

Answer 1

（Ⅰ）半圆C的极坐标方程ρ=2cosθ，θ∈[0，(π)/(2)]，即 ρ²=2ρcosθ，
化为直角坐标方程为 （x-1）²+y²=1，x∈[0，2]、y∈[0，1]．
令x-1=cosα∈[-1，1]，y=sinα，α∈[0，π]．
故半圆C的参数方程为

x＝1+cosα

y＝sinα

，α∈[0，π]．
（Ⅱ）由于点D在C上，半圆C在D处的切线与直线l：y=√(3)x+2垂直，
∴直线CD和直线l平行，故直线CD和直线l斜率相等．
设点D的坐标为（1+cosα，sinα），∵C（1，0），∴(sinα−0)/((1+cosα)−1)=√(3)，
解得tanα=√(3)，即α=(π)/(3)，
故点D的坐标为（(3)/(2)，(√(3))/(2)）．