二元函数无条件极值中为何A>0为极小,A0时,极值存在,且A>0为极小,A

Question

二元函数无条件极值中为何A>0为极小,A<0为极大?
A表示对x的二阶偏导数,而C表示对y的二阶偏导数,而B表示对x和y 的二阶混合偏导数.
当AC-B^2>0时,极值存在,且A>0为极小,A<0为极大
可是,A和C是轮换对称的,为什么A的正负可以确定极大值和极小值,C就不行呢?

Answer 1

你的感觉是对的,A和C是一样的.所以用A来判断就可以了.
证明如下：
这个用二元函数的泰勒展开式就很好理解及证明了：
f(x,y) = f(a,b) + f'x(a,b)(x - a) + f'y(a,b)(y - b) + 1/2*[f"xx(a,b)(x-a)^2 + f"yy(a,b)(y-b)^2 + 2f"xy(a,b)(x-a)(y-b)] + h ,这里h为余项
=f(a,b) + f'x(a,b)(x - a) + f'y(a,b)(y - b) + 1/2*[A(x-a)^2 + C(y-b)^2 + 2B(x-a)(y-b)] + h
由于f'x(a,b)=f'y(a,b)=0,
因此上式=f(a,b)+1/2*[A(x-a)^2 + C(y-b)^2 + 2B(x-a)(y-b)] + h
在极小值点的邻域,其值都比它大.所以极小值点相当于在邻域内A(x-a)^2 + C(a,b)(y-b)^2 + 2B(x-a)(y-b) 恒大于0.
把它看成是x-a的2次式,恒大于0,表明A>0,且判别式小于0.即为(2B)^2-4AC0
极大值点同理,只是需要A