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设函数g(x)连续,且f(x)=1/2∫(0,x)(x-t)^2g(t)dt,求f'(x).0是下限,x是上限,求详解
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设函数g(x)连续,且f(x)=1/2∫(0,x)(x-t)^2g(t)dt,求f'(x). 0是下限,x是上限,求详解
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答案和解析
f(x)=1/2【积分（从0到x）(x^2－2xt+t^2)g(t)dt】
=1/2【x^2*积分（从0到x）g(t)dt－2x*积分（从0到x）tg(t)dt+积分（从0到x）t^2g(t)dt】
故f'(x)=1/2【2x*积分（从0到x）g(t)dt+x^2*g(x)－2积分（从0到x）tg(t)dt－2x*xg(x)+x^2g(x)】
=积分（从0到x）(x－t)g(t)dt
=1/2【x^2*积分（从0到x）g(t)dt－2x*积分（从0到x）tg(t)dt+积分（从0到x）t^2g(t)dt】
故f'(x)=1/2【2x*积分（从0到x）g(t)dt+x^2*g(x)－2积分（从0到x）tg(t)dt－2x*xg(x)+x^2g(x)】
=积分（从0到x）(x－t)g(t)dt
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