求xarctanx/根号下(1+x^2)的不定积分!求1-x^7/x(1+x^7)的不定积分!

Question

求xarctanx/根号下(1+x^2)的不定积分!求1-x^7/x(1+x^7)的不定积分!

Answer 1

∫ x*arctanx / √(1+x²) dx
令u = arctanx,x = tanu,dx = sec²u du,secu = √(1+x²)
原式= ∫ tanu * u / √(1+tan²u) * sec²u du
= ∫ u * tanu * secu du
= ∫ u d(secu)
= u * secu - ∫ secu du
= u * secu - ln|secu + tanu| + c
= arctanx * √(1+x²) - ln|x + √(1+x²)| + c
∫ (1-x^7) / [x * (1+x^7)] dx
= ∫ (7-7x^7) / [7x(1+x^7)] dx
= ∫ [(7+7x^7)-14x^7] / [7x(1+x^7)] dx
= ∫ (7+7x^7) / [7x(1+x^7)] dx - ∫ 14x^7 / [7x(1+x^7)] dx
= ∫ 1/x dx - 2 ∫ x^6 / (1+x^7) dx
= ln|x| - (2/7)ln|1+x^7| + c