求（1/2+1/4+…………+1/2n）-（1/3+1/5+1/7+…………1/（2n+1）等于多少

Question

求（1/2+1/4+…………+1/2n）-（1/3+1/5+1/7+…………1/（2n+1）等于多少

Answer 1

无初等表示,在n→∞时,此求和收敛,可以通过积分的方法给算出：设T=（1/3+1/5+1/7+…+1/(2n+1)-(1/2+1/4+…+1/2n)=(1/2+1/3+……+1/2n)-2(1/2+1/4+……+1/2n)=(1+1/2+1/4+…+1/2n)-(1+1/2+1/3+……+1/n)-1=[1/(n+1)+1/(2+n)+……+1/(n+n)]-1=(1/n)[1/(1+1/n)+1/(1+2/n)+……+1/(1+n/n)]-1=∫1/(1+x)dx[0,1]-1=ln2-1,于是（1/2+1/4+…………+1/2n）-（1/3+1/5+1/7+…………1/（2n+1）=-T=1-ln2.
那个公式似乎只有在n→∞时才可用吧,取n=1,那公式显然失效.