这个不定积分怎么求?exp(arctan(x))/(1+x^2)^3/2这个函数的不定积分

Question

这个不定积分怎么求?
exp(arctan(x))/(1+x^2)^3/2这个函数的不定积分

Answer 1

楼上的解法用的是三角代换,换来换去的麻烦,但本题可以直接用分部积分:
∫e^(arctanx)/[(1+x^2)^3/2]dx
=∫1/√(1+x^2)d[e^(arctanx)]
=e^(arctanx)/√(1+x^2)+∫x*e^(arctanx)/[(1+x^2)^3/2]dx
=e^(arctanx)/√(1+x^2)+∫x/√(1+x^2)d[e^(arctanx)]
=e^(arctanx)/√(1+x^2)+x*e^(arctanx)/√(1+x^2)-∫e^(arctanx)/[(1+x^2)^3/2]dx
所以2∫e^(arctanx)/[(1+x^2)^3/2]dx=e^(arctanx)/√(1+x^2)+x*e^(arctanx)/√(1+x^2)
即：∫e^(arctanx)/[(1+x^2)^3/2]dx=[(x+1)e^(arctanx)]/[2√(1+x^2)]+C