函数y=xcos(-∞,＋∞)内是否有界限?这个函数豆为x→＋∞时的无穷小?为什么?

Question

函数y=xcos(-∞,＋∞)内是否有界限?这个函数豆为x→＋∞时的无穷小?为什么?

Answer 1

x→＋∞时,f(x)是无穷大的定义是：对于任意大的正数M,存在正数X,对于任意的x＞X,恒有|f(x)|＞M.
分析：x很大时,始终存在使得cosx=0的x,所以|f(x)|＞M不可能恒成立.
把无穷大的定义否定,得到“不是无穷大”的定义：存在正数M,对于任意的正数X,存在x＞X,但是|f(x)|≤M.
对于正数M=1,不管正数X多大,存在正整数n,使得nπ+π/2＞X,但|f(nπ+π/2)|=0＜1.所以f(x)=xcosx不是x→＋∞时的无穷大.
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一般对于无界、无穷大可以使用函数极限与数列极限的关系来说明：如果存在数列Xn,使得f(Xn)是无穷大,则f(x)无界.如果存在数列yn,使得f(yn)的极限有限,则f(x)不是无穷大.