已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，AD是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AD，垂足为点D，交AB于点E，且BEAB=14．（1）求线段BD的长；（2）求∠ADC的正切值．

Question

已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，AD是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AD，垂足为点D，交AB于点E，且(BE)/(AB)=(1)/(4)．

（1）求线段BD的长；
（2）求∠ADC的正切值．

Answer 1

（1）∵DE⊥AD，
∴∠BDE=∠CAD=90°-∠CDA，
∵∠CAD=∠DAB，
∴∠BAD=∠BDE，
∵∠B=∠B，
∴△BED∽△BDA，
∴BD²=BE•BA，
∵AB=4，(BE)/(AB)=(1)/(4)，
∴BE=1，
∴BD²=1×4=4，
∴BD=2；

（2），∵DE⊥AD，
∴∠AED=90°-∠DAE，
∵∠ADE=90°-∠CAD，
∵∠CAD=∠DAB，
∴∠ADE=∠AED，
∵△BED∽△BDA，
∴(AD)/(AE)=(AB)/(BD)，
∴tan∠ADC=tan∠AED=(AD)/(AE)=(AB)/(BD)=(4)/(2)=2．