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如图,在△ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,以边AB的中点O为圆心,作半圆与AC相切,点P,Q分别是边BC和半圆上的动点,连接PQ,则PQ长的最大值与最小值的和是()A.6B.213+1C.9D.322
题目详情
如图,在△ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,以边AB的中点O为圆心,作半圆与AC相切,点P,Q分别是边BC和半圆上的动点,连接PQ,则PQ长的最大值与最小值的和是( )
A. 6
B. 2
+113
C. 9
D. 32 2
▼优质解答
答案和解析
如图
,设 O与AC相切于点E,连接OE,作OP1⊥BC垂足为P1交 O于Q1,
此时垂线段OP1最短,P1Q1最小值为OP1-OQ1,
∵AB=10,AC=8,BC=6,
∴AB2=AC2+BC2,
∴∠C=90°,
∵∠OP1B=90°,
∴OP1∥AC
∵AO=OB,
∴P1C=P1B,
∴OP1=
AC=4,
∴P1Q1最小值为OP1-OQ1=1,
如图,当Q2在AB边上时,P2与B重合时,P2Q2经过圆心,经过圆心的弦最长,
P2Q2最大值=5+3=8,
∴PQ长的最大值与最小值的和是9.
故选C.
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此时垂线段OP1最短,P1Q1最小值为OP1-OQ1,
∵AB=10,AC=8,BC=6,
∴AB2=AC2+BC2,
∴∠C=90°,
∵∠OP1B=90°,
∴OP1∥AC
∵AO=OB,
∴P1C=P1B,
∴OP1=
1 |
2 |
∴P1Q1最小值为OP1-OQ1=1,
如图,当Q2在AB边上时,P2与B重合时,P2Q2经过圆心,经过圆心的弦最长,
P2Q2最大值=5+3=8,
∴PQ长的最大值与最小值的和是9.
故选C.
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