如图，四边形ABCD内接于O，点E在CB的延长线上，连接AC，AE，∠ACD=∠BAE=45°（1）求证：AE是O的切线；（2）若AB=AD，AC=22，tan∠ADC=3，求CD的长．

Question

如图，四边形ABCD内接于 O，点E在CB的延长线上，连接AC，AE，∠ACD=∠BAE=45°

（1）求证：AE是 O的切线；
（2）若 AB=AD，AC=2√(2)，tan∠ADC=3，求CD的长．

Answer 1

（1）证明：连接OA、OB，如图1所示：
∵∠ACB=45°，
∴∠AOB=2∠ACB=90°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
∵∠BAE=45°，
∴∠OAE=∠OAB+∠BAE=90°，
∴AE⊥OA，
∴AE是 O的切线；
（2） 作AF⊥CD于F，如图2所示：
∵AB=AD，
∴

AB

=

AD

，
∴∠ACB=∠ACD=45°，
∵AF⊥CD，
∴∠AFC=∠AFD=90°，
∵AC=2√(2)，
∴在Rt△AFC中，AF=CF=AC•sin∠ACF=2√(2)×(√(2))/(2)=2，
∵在Rt△AFD中，tan∠ADC=(AF)/(DF)=3，
∴DF=(2)/(3)，
∴CD=CF+DF=2+(2)/(3)=(8)/(3)．