CO是△ACE的高，点B在OE上，OB=OA，AC=BE（1）如图1，求证：∠A=2∠E；（2）如图2，CF是△ACE的角平分线．①求证：AC+AF=CE；②判断三条线段CE、EF、OF之间的数量关系，并给出证明．

Question

CO是△ACE的高，点B在OE上，OB=OA，AC=BE
（1）如图1，求证：∠A=2∠E；
（2）如图2，CF是△ACE的角平分线．
①求证：AC+AF=CE；
②判断三条线段CE、EF、OF之间的数量关系，并给出证明．

Answer 1

证明：（1）连接CB，由AO=OB，CO⊥AB，
∴CA=CB，
∴∠A=∠CBA，
∵AC=BE，
∴BE=CB，
∴∠E=∠BCE，
∴∠A=∠CBA=∠BCE+∠E=2∠E；
（2）①在CE上截取CH=CA，连接FH，
∵∠ACF=∠ECF，CF=CF，
在△FCA与△FCH中，

CH=CA

∠ACF=∠ECF

CF=CF

，
∴△FCA≌△FCH，
∴AF=HF，∠A=∠CHF=∠HFE+∠E=2∠E，
∴∠HFE=∠E，
∴AF=HE，
即CE=CH+HE=CA+AF；
②在①的基础上，BE=AC，AO=OB，
∴CE=CA+AF
=BE+AO+OF
=EF-FB+OB+OF
=EF+OF+OF
=EF+2OF．