如图，△ABC的边BC的中垂线DF交△BAC的外角平分线AD于D，F为垂足，DE⊥AB于E，且AB＞AC，求证：BE-AC=AE．

Question

如图，△ABC的边BC的中垂线DF交△BAC的外角平分线AD于D，F为垂足，DE⊥AB于E，且AB＞AC，求证：BE-AC=AE．

Answer 1

证明：作DG⊥AC，连接BD、CD，
∵AD是外角∠BAG的平分线，DE⊥AB，
∴∠DAE=∠DAG，
则在△ADE与△ADG中，

∠DEA＝∠DGA

∠EAD＝∠GAD

AD＝AD

∴△ADE≌△ADG（AAS），
∴AE=AG，
∵DF是BC的中垂线，
∴BD=CD，
∴在Rt△BED和Rt△CGD中，

DE＝DG

BD＝CD

，
∴Rt△BED≌Rt△CGD（HL），
∴BE=CG=AC+AG，AG=AE，
∴BE-AC=AE．