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如图,△ABC的边BC的垂直平分线DE交△BAC的外角平分线AD于D,E为垂足,DF⊥AB于F,且AB>AC,求证:BF=AC+AF.
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如图,△ABC的边BC的垂直平分线DE交△BAC的外角平分线AD于D,E为垂足,DF⊥AB于F,且AB>AC,求证:BF=AC+AF.
▼优质解答
答案和解析
证明:过D作DN⊥AC,垂足为N,连接DB、DC,
则DN=DF(角平分线性质),DB=DC(线段垂直平分线性质),
又∵DF⊥AB,DN⊥AC,
∴∠DFB=∠DNC=90°,
在Rt△DBF和Rt△DCN中
∵
,
∴Rt△DBF≌Rt△DCN(HL)
∴BF=CN,
在Rt△DFA和Rt△DNA中
∵
,
∴Rt△DFA≌Rt△DNA(HL)
∴AN=AF,
∴BF=AC+AN=AC+AF,
即BF=AF+AC.
证明:过D作DN⊥AC,垂足为N,连接DB、DC,
则DN=DF(角平分线性质),DB=DC(线段垂直平分线性质),
又∵DF⊥AB,DN⊥AC,
∴∠DFB=∠DNC=90°,
在Rt△DBF和Rt△DCN中
∵
|
∴Rt△DBF≌Rt△DCN(HL)
∴BF=CN,
在Rt△DFA和Rt△DNA中
∵
|
∴Rt△DFA≌Rt△DNA(HL)
∴AN=AF,
∴BF=AC+AN=AC+AF,
即BF=AF+AC.
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