如图，AC是O的直径，BC交O于点D，E是CD的中点，连接AE交BC于点F，∠ABC=2∠EAC．（1）求证：AB是O的切线；（2）若tanB=43，BD=6，求CF的长．

Question

如图，AC是 O的直径，BC交 O于点D，E是

CD

的中点，连接AE交BC于点F，∠ABC=2∠EAC．

（1）求证：AB是 O的切线；
（2）若tanB=(4)/(3)，BD=6，求CF的长．

Answer 1

（1）证明：连接AD，∵AC是 O的直径，
∴AD⊥BC，
∴∠DAC+∠C=90°，
∵E是

CD

的中点，
∴∠EAC=∠EAD，
∴∠DAC=2∠EAC，
∵∠ABC=2∠EAC，
∴∠ABC=∠DAC，
∴∠ABC+∠C=90°，
∴∠BAC=90°，
∴CA⊥AB，
∴AB是 O的切线；
（2） 作FH⊥AC于H，如图，
在Rt△ABD中，∵tanB=(AD)/(BD)=(4)/(3)，BD=6，
∴AD=8，
∴AB=√(AD2+BD2)=10，
在Rt△ACB中，∵tanB=(AC)/(AB)=(4)/(3)，
∴AC=(4)/(3)×10=(40)/(3)，
∴BC=√(AC2+AB2)=(50)/(3)，
∴CD=BC-BD=(50)/(3)-6=(32)/(3)，
∵∠EAC=∠EAD，即AF平分∠CAD，
而FD⊥AD，FH⊥AB，
∴FD=FH，
设CF=x，则DF=FH=(32)/(3)-x，
∵FH∥AC，
∴∠HFC=∠B，
在Rt△CFH中，∵tan∠CFH=tanB=(4)/(3)=(CH)/(FH)，
∴(FH)/(CF)=(3)/(5)=((32)/(3)-x)/(x)，解得x=(20)/(3)，
即CF的长为(20)/(3)．