（2013•江阴市模拟）如图1和图2，在△ABC中，AB=13，BC=14，cos∠ABC=513．探究如图1，AH⊥BC于点H，则AH=，AC=，△ABC的面积S△ABC=．拓展如图2，点D在AC上（可以与点A、C重合），

题目详情

（2013•江阴市模拟）如图1和图2，在△ABC中，AB=13，BC=14，cos∠ABC=

．
探究  如图1，AH⊥BC于点H，则AH=______，AC=______，△ABC的面积S_△ABC=______．
拓展  如图2，点D在AC上（可以与点A、C重合），分别过点A，C作直线BD的垂线，垂足为E、F，设BD=x，AE=m，CF=n，
（1）用含x，m或n的代数式表示S_△ABD及S_△CBD；
（2）求（m+n）与x的函数关系式，并求（m+n）的最大值和最小值；
（3）对给定的一个x值，有时只能确定唯一的点D，指出这样的x的取值范围．
发现  请你确定一条直线，使得A、B、C三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并直接写出这个最小值．

▼优质解答

答案和解析

∵在△ABC中，AB=13，BC=14，cos∠ABC=

，
∴

，
∴BH=5，
∴AH=

132−52

=12，
∴HC=9，AC=

122+92

=15，
∴△ABC的面积S_△ABC=

×12×14=84；
故答案为：12，15，84；

（1）由三角形面积公式得出：S_△ABD=

mx，S_△CBD=

nx；

（2）∵m=

2S△ABD

，n=

2S△CBD

，
∴m+n=

2S△ABD

2S△CBD

168

，
由于AC边上的高为：

2S△ABC

2×84

，
∴x的取值范围为：

≤x≤14，
∵（m+n）随x的增大而减小，
∴x=

时，（m+n）的最大值为：15；
当x=14时，（m+n）的最小值为12；

（3）x的取值范围是x=

或13＜x≤14，
发现：∵AC＞BC＞AB，
∴过A、B、C三点到这条直线的距离之和最小的直线就是AC所在的直线，AC边上的高的长为