如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE=12AC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F．（1）求证：OE=CD；（2）若菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，求AE的长．

Question

如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE=(1)/(2)AC，连接 CE、OE，连接AE交OD于点F．

（1）求证：OE=CD；
（2）若菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，求AE的长．

Answer 1

（1）证明：在菱形ABCD中，OC=(1)/(2)AC．
∴DE=OC．
∵DE∥AC，
∴四边形OCED是平行四边形．
∵AC⊥BD，
∴平行四边形OCED是矩形．  
∴OE=CD．
（2）在菱形ABCD中，∠ABC=60°，
∴AC=AB=2．
∴在矩形OCED中，
CE=OD=√(AD2-AO2)=√(3)．
在Rt△ACE中，
AE=√(AC2+CE2)=√(7)．