已知△ABC，点D、F分别为线段AC、AB上两点，连接BD、CF交于点E．（1）若BD⊥AC，CF⊥AB，如图1所示，试说明∠BAC+∠BEC=180°；（2）若BD平分∠ABC，CF平分∠ACB，如图2所示，试说明此时∠BAC与∠BEC

Question

已知△ABC，点D、F分别为线段AC、AB上两点，连接BD、CF交于点E．
（1）若BD⊥AC，CF⊥AB，如图1所示，试说明∠BAC+∠BEC=180°；
（2）若BD平分∠ABC，CF平分∠ACB，如图2所示，试说明此时∠BAC与∠BEC的数量关系；
（3）在（2）的条件下，若∠BAC=60°，试说明：EF=ED．

Answer 1

（1）∵BD⊥AC，CF⊥AB，
∴∠DCE+∠DEC=∠DCE+∠FAC=90°，
∴∠DEC=∠BAC，∠DEC+∠BEC=180°，
∴∠BAC+∠BEC=180°；

（2）∵BD平分∠ABC，CF平分∠ACB，
∴∠EBC=(1)/(2)∠ABC，∠ECB=(1)/(2)∠ACB，∠BEC=180°-（∠EBC+∠ECB）=180°-(1)/(2)（∠ABC+∠ACB）=180°-(1)/(2)（180°-∠BAC）=90°+(1)/(2)∠BAC；

（3）作∠BEC的平分线EM交BC于M，
∵∠BAC=60°，
∴∠BEC=90°+(1)/(2)∠BAC=120°，
∴∠FEB=∠DEC=60°，
∵EM平分∠BEC，
∴∠BEM=60°，
在△FBE与△EBM中，

∠FBE=∠EBM

BE=BE

∠FEB=∠MEB

，
∴△FBE≌△EBM，
∴EF=EM，同理DE=EM，
∴EF=DE．