已知点D是三角形ABC的边BC上一点（不与B,C重合）DE平行AC,DF平行AB,BC=5(1)设三角形ABC的面积为S,若四边形AEDF的面积为2S/5,求:BD的长;(2)若AC=根号2AB,且DF经过三角形ABC的重心G,求E,F两点间距离

Question

已知点D是三角形ABC的边BC上一点（不与B,C重合）DE平行AC,DF平行AB,BC=5(1)设三角形ABC的面积为S,若四边形AEDF的面积为2S/5,求:BD的长;(2)若AC=根号2AB,且DF经过三角形ABC的重心G,求E,F两点间距离

Answer 1

(1)
解法1:不知道你们学到哪一步,如果知道三角形面积的比等于两个边长之积的比就用下面这个解法:
设 BD＝x
由 DE‖AC,DF‖AB,得△BDE∽△BCA,△DCF∽△BCA.
S△BDE:S△ABC=x^2/5^2
S△BDE=x^2S/25
S△DCF:S△ABC=(5-x)^2/5^2
S△DCF=(5-x)^2S/25
因为 S△ABC＝S△BDE+S△DCF+S四边形AEDF＝S,S四边形AEDF＝2/5 S ,
故S△BDE+S△DCF＝ 3/5 S.
故x^2S/25+ (5-x)^2S/25＝ 3/5 S
化简,得 x -5x+5＝0.
解得x=(5±√5)/2,
即 BD 的长为 (5+√5)/2或(5-√5)/2
昨天一位估计和你差不多年级的同学问我同样的问题,她说没有学过三角形面积之比等于两个边长积之比(根据S=1/2absinC证得),那就只能用很复杂的第二解法
解法2:
过B作BG垂直于AC交DE于P
则S△BDE=1/2*DE*BP
S△ABC=1/2*AC*BG
由于BP:BG=DE:AC=BD:BC
所以S△BDE:S△ABC=x^2/5^2
同理可证得S△DCF:S△ABC=(5-x)^2/5^2
后面的内容就和解法一一样了
(2) 由 G 是△ABC 的重心,DF 过点 G,且DF‖AB,可得CD:CB=2:3 .
故DF＝2/3AB .
由 DF‖AC,CD:CB=2:3 ,
得 DE＝1/3AC
由 AC＝√2AB ,
故AC:AB=√2
DF:DE=(2/3AB)/(1/3AC)=(2AB)/(√2AB)=√2
得DF:DE=AC:AB
即DF:AC=DE:AB
又∠EDF＝∠A,
所以△DEF∽△ABC
故EF:BC=DE:AB
所以EF=5√2/3