如图，在▱ABCD中，AM⊥BC，AN⊥CD，垂足分别为M、N，（1）求证：△AMB∽△AND；（2）求证：AMAB＝MNAC．

Question

如图，在▱ABCD中，AM⊥BC，AN⊥CD，垂足分别为M、N，

（1）求证：△AMB∽△AND； 
（2）求证：(AM)/(AB)＝(MN)/(AC)．

Answer 1

证明：（1）∵ABCD为平行四边形，
∴∠B=∠D，AD=BC，
∵AM⊥BC，AN⊥CD，
∴∠AMB=∠AND=90°，
∴△AMB∽△AND；
（2）∵△AMB∽△AND，
∴(AM)/(AN)=(AB)/(AD)，
而AD=BC，
∴(AM)/(AN)=(AB)/(BC)①，
∵AD∥BC，
∴∠DAM=∠AMB=90°，
∵∠MAN=90°-∠DAN，
而∠D=90°-∠DAN，
∴∠MAN=∠D，
而∠D=∠B，
∴∠B=∠MAN②，
由①②得△AMN∽△BAC，
∴(AM)/(AB)=(MN)/(AC)．