如图，O的两条弦AB、CD交于点E，OE平分∠BED．（1）求证：AB=CD；（2）若∠BED=60°，EO=2，求DE-AE的值．

Question

如图， O的两条弦AB、CD交于点E，OE平分∠BED．

（1）求证：AB=CD；
（2）若∠BED=60°，EO=2，求DE-AE的值．

Answer 1

（1）过点O作AB、CD的垂线，垂足为M、N，如图1，

∵OE平分∠BED，且OM⊥AB，ON⊥CD，
∴OM=ON，
∴AB=CD；
（2）如图2所示，

由（1）知，OM=ON，AB=CD，OM⊥AB，ON⊥CD，
∴DN=CN=AM=BM，
在Rt△EON与Rt△EOM中，
∵

OE=OE

OM=ON

，
∴Rt△EON≌Rt△EOM（HL），
∴NE=ME，
∴CD-DN-NE=AB-BM-ME，
即AE=CE，
∴DE-AE=DE-CE=DN+NE-CE=CN+NE-CE=2NE，
∵∠BED=60°，OE平分∠BED，
∴∠NEO=(1)/(2)∠BED=30°，
∴ON=(1)/(2)OE=1，
在Rt△EON中，由勾股定理得：
NE=√(OE2-ON2)=√(3)，
∴DE-AE=2NE=2√(3)．