如图，已知：正方形ABCD，由顶点A引两条射线分别交BC、CD于E、F，且∠EAF=45°，求证：BE+DF=EF．

Question

如图，已知：正方形ABCD，由顶点A引两条射线分别交BC、CD于E、F，且∠EAF=45°，求证：BE+DF=EF．

Answer 1

证明：如图，延长CD到G，使DG=BE，
在正方形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=90°，
∴∠ADG=∠B，
在△ABE和△ADG中，

AB＝AD

∠ADG＝∠B

DG＝BE

，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，
∵∠EAF=45°，
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°，
∴∠EAF=∠GAF，
在△AEF和△AGF中，

AG＝AE

∠EAF＝∠GAF

AF＝AF

，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF=GF，
∵GF=DG+DF=BE+DF，
∴BE+DF=EF．