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(2014•东营)探究发现如图1,△ABC是等边三角形,∠AEF=60°,EF交等边三角形外角平分线CF所在的直线于点F,当点E是BC的中点时,有AE=EF成立;数学思考某数学兴趣小组在探究AE、EF
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(2014•东营)【探究发现】如图1,△ABC是等边三角形,∠AEF=60°,EF交等边三角形外角平分线CF所在的直线于点F,当点E是BC的中点时,有AE=EF成立;
【数学思考】某数学兴趣小组在探究AE、EF的关系时,运用“从特殊到一般”的数学思想,通过验证得出如下结论:
当点E是直线BC上(B,C除外)任意一点时(其它条件不变),结论AE=EF仍然成立.
假如你是该兴趣小组中的一员,请你从“点E是线段BC上的任意一点”;“点E是线段BC延长线上的任意一点”;“点E是线段BC反向延长线上的任意一点”三种情况中,任选一种情况,在备用图1中画出图形,并证明AE=EF.
【拓展应用】当点E在线段BC的延长线上时,若CE=BC,在备用图2中画出图形,并运用上述结论求出S△ABC:S△AEF的值.
【数学思考】某数学兴趣小组在探究AE、EF的关系时,运用“从特殊到一般”的数学思想,通过验证得出如下结论:
当点E是直线BC上(B,C除外)任意一点时(其它条件不变),结论AE=EF仍然成立.
假如你是该兴趣小组中的一员,请你从“点E是线段BC上的任意一点”;“点E是线段BC延长线上的任意一点”;“点E是线段BC反向延长线上的任意一点”三种情况中,任选一种情况,在备用图1中画出图形,并证明AE=EF.
【拓展应用】当点E在线段BC的延长线上时,若CE=BC,在备用图2中画出图形,并运用上述结论求出S△ABC:S△AEF的值.
▼优质解答
答案和解析
证明:如图一,在B上截取AG,使AG=EC,连接EG,
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC,∠B=∠ACB=60°.
∵AG=EC,
∴BG=BE,
∴△BEG是等边三角形,∠BGE=60°,
∴∠AGE=120°.
∵FC是外角的平分线,
∠ECF=120°=∠AGE.
∵∠AEC是△ABE的外角,
∴∠AEC=∠B+∠GAE=60°+∠GAE.
∵∠AEC=∠AEF+∠FEC=60°+∠FEC,
∴∠GAE=∠FEC.
在△AGE和△ECF中
,
∴△AGE≌△ECF(ASA),
∴AE=EF;
拓展应用:
如图二:作CH⊥AE于H点,
∴∠AHC=90°.
由数学思考得AE=EF,
又∵∠AEF=60°,
∴△AEF是等边三角形,
∴△ABC∽△AEF.
∵CE=BC=AC,△ABC是等边三角形,
∴∠CAH=30°,AH=EH.
∴CH=
AC,AH=
AC,AE=
AC,
∴
=
.
∴
=(
)2=(
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC,∠B=∠ACB=60°.
∵AG=EC,
∴BG=BE,
∴△BEG是等边三角形,∠BGE=60°,
∴∠AGE=120°.
∵FC是外角的平分线,
∠ECF=120°=∠AGE.
∵∠AEC是△ABE的外角,
∴∠AEC=∠B+∠GAE=60°+∠GAE.
∵∠AEC=∠AEF+∠FEC=60°+∠FEC,
∴∠GAE=∠FEC.
在△AGE和△ECF中
|
∴△AGE≌△ECF(ASA),
∴AE=EF;
拓展应用:
如图二:作CH⊥AE于H点,
∴∠AHC=90°.
由数学思考得AE=EF,
又∵∠AEF=60°,
∴△AEF是等边三角形,
∴△ABC∽△AEF.
∵CE=BC=AC,△ABC是等边三角形,
∴∠CAH=30°,AH=EH.
∴CH=
1 |
2 |
| ||
2 |
3 |
∴
AC |
AE |
| ||
3 |
∴
S△ABC |
S△AEF |
AC |
AE |
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