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如图,在直角△ABC中,D为斜边AB的中点,DE⊥DF,而E、F分别在AC和BC上,连结EF.观察AE、EF、BF能不能组成直角三角形.写出你的结论并说明理由.
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如图,在直角△ABC中,D为斜边AB的中点,DE⊥DF,而E、F分别在AC和BC上,连结EF.观察AE、EF、BF能不能组成直角三角形.写出你的结论并说明理由.
▼优质解答
答案和解析
如图,延长FD到F′,使DF′=DF,连接AF′、EF′,
∵D为斜边AB的中点,
∴AD=BD,
在△ADF′和△BDF中,
,
∴△ADF′≌△BDF(SAS),
∴AF′=BF,∠B=∠DAF′,
∵∠BAC+∠B=90°,
∴∠BAC+∠DAF′=∠BAC+∠B=90°,
即∠EAF′=90°,
又∵DE⊥DF,
∴EF′=EF,
∴△EAF′是以EF′为斜边的直角三角形,
故AE、EF、BF能组成直角三角形,斜边为EF.
∵D为斜边AB的中点,
∴AD=BD,
在△ADF′和△BDF中,
|
∴△ADF′≌△BDF(SAS),
∴AF′=BF,∠B=∠DAF′,
∵∠BAC+∠B=90°,
∴∠BAC+∠DAF′=∠BAC+∠B=90°,
即∠EAF′=90°,
又∵DE⊥DF,
∴EF′=EF,
∴△EAF′是以EF′为斜边的直角三角形,
故AE、EF、BF能组成直角三角形,斜边为EF.
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