在三角形abc中,角CAB=90,AB=AC,E,F为BC上的点,且角EAF=45,求证EF的平方=BE的平方加FC的平方

Question

在三角形abc中,角CAB=90,AB=AC,E,F为BC上的点,且角EAF=45,求证EF的平方=BE的平方加FC的平方

Answer 1

证明：
因为△CBA是等腰直角三角形,∠CAB=90°
所以CA＝BA,∠C＝∠CBA＝45°
将△CAF绕A旋转90度到△ABM的位置,连接EM
因为△CAF≌△BAM
所以AF＝AM,∠CAF＝∠BAM,∠C＝∠ABM＝45°,CF＝BM
因为∠CAB＝90°,∠FAE＝45°
所以∠CAF＋∠BAE＝45°
所以∠BAM＋∠BAE＝45°,即∠MAE＝45°
所以∠FAE＝∠MAE
又因为AE＝AE
所以△FAE≌△MAE（SAS）
所以EF＝EM
因为∠MBE＝∠CBA＋∠ABM＝45°＋45°＝90°
所以△BME是直角三角形
由于CF＝BM,EF＝EM
所以CF、EF、EB这三条线断能组成以EF为斜边的直角三角形
所以EF的平方=BE平方+FC的平方
供参考!JSWYC