如图，△ABC为等腰三角形，AP是底边BC上的高，点D是线段PC上的一点，BE和CF分别是△ABD和△ACD的外接圆直径，连接EF．求证：tan∠PAD=EFBC．

Question

如图，△ABC为等腰三角形，AP是底边BC上的高，点D是线段PC上的一点，BE和CF分别是△ABD和△ACD的外接圆直径，连接EF．求证：tan∠PAD=(EF)/(BC)．

Answer 1

证明：如图，连接ED，FD．
∵BE和CF都是直径，
∴ED⊥BC，FD⊥BC，
∴D，E，F三点共线，
连接AE，AF，
∵∠AFE与∠ACB是同弧所对的圆周角，
∴∠AFE=∠ACB，
∴∠AEF=∠ABC=∠ACB=∠AFD，
∴△ABC∽△AEF，
作AH⊥EF，垂足为H，
又∵AP⊥BC，DF⊥BC，
∴四边形APDH是矩形，
∴AH=PD，
∵△ABC∽△AEF，
∴(EF)/(BC)=(AH)/(AP)，
∴(EF)/(BC)=(PD)/(AP)，
∴tan∠PAD=(PD)/(AP)=(EF)/(BC)．