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如图,△ABC为等腰三角形,AP是底边BC上的高,点D是线段PC上的一点,BE和CF分别是△ABD和△ACD的外接圆直径,连接EF.求证:tan∠PAD=EFBC.
题目详情
如图,△ABC为等腰三角形,AP是底边BC上的高,点D是线段PC上的一点,BE和CF分别是△ABD和△ACD的外接圆直径,连接EF.求证:tan∠PAD=
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EF |
BC |
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▼优质解答
答案和解析
证明:如图,连接ED,FD.
∵BE和CF都是直径,
∴ED⊥BC,FD⊥BC,
∴D,E,F三点共线,
连接AE,AF,
∵∠AFE与∠ACB是同弧所对的圆周角,
∴∠AFE=∠ACB,
∴∠AEF=∠ABC=∠ACB=∠AFD,
∴△ABC∽△AEF,
作AH⊥EF,垂足为H,
又∵AP⊥BC,DF⊥BC,
∴四边形APDH是矩形,
∴AH=PD,
∵△ABC∽△AEF,
∴
=
,
∴
=
,
∴tan∠PAD=
=
.
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∵BE和CF都是直径,
∴ED⊥BC,FD⊥BC,
∴D,E,F三点共线,
连接AE,AF,
∵∠AFE与∠ACB是同弧所对的圆周角,
∴∠AFE=∠ACB,
∴∠AEF=∠ABC=∠ACB=∠AFD,
∴△ABC∽△AEF,
作AH⊥EF,垂足为H,
又∵AP⊥BC,DF⊥BC,
∴四边形APDH是矩形,
∴AH=PD,
∵△ABC∽△AEF,
∴
EF |
BC |
AH |
AP |
∴
EF |
BC |
PD |
AP |
∴tan∠PAD=
PD |
AP |
EF |
BC |
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