如图，在正方形ABCD中，E为直线AB上的动点（不与A，B重合），作射线DE并绕点D逆时针旋转45°，交直线BC边于点F，连结EF．探究：当点E在边AB上，求证：EF=AE+CF．应用：（1）当点E在边AB上，

Question

如图，在正方形ABCD中，E为直线AB上的动点（不与A，B重合），作射线DE并绕点D逆时针旋转45°，交直线BC边于点F，连结EF．
探究：当点E在边AB上，求证：EF=AE+CF．
应用：（1）当点E在边AB上，且AD=2时，则△BEF的周长是___．
（2）当点E不在边AB上时，EF，AE，CF三者的数量关系是___．

Answer 1

探究：证明：如图，延长BA到G，使AG=CF，连接DG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴DA=DC，∠DAG=∠DCF=90°，
∴△DAG≌△DCF（SAS），
∴∠1=∠3，DG=DF，
∵∠ADC=90°，∠EDF=45°，
∴∠EDG=∠1+∠2=∠3+∠2=45°=∠EDF，
∵DE=DE，
∴△GDE≌△FDE（SAS），
∴EF=EG=AE+AG=AE+CF；
应用：
（1）△BEF的周长=BE+BF+EF，
由探究得：EF=AE+CF，
∴△BEF的周长=BE+BF+AE+CF=AB+BC=2+2=4，
故答案为：4；
（2）当点E不在边AB上时，分两种情况：
①点E在BA的延长线上时，如图2，
EF=CF-AE，理由是：
在CB上取CG=AE，连接DG，
∵∠DAE=∠DCG=90°，AD=DC，
∴△DAE≌△DCG（SAS）
∴DE=DG，∠EDA=∠GDC
∵∠ADC=90°，
∴∠EDG=90°
∴∠EDF+∠FDG=90°，
∵∠EDF=45°，
∴∠FDG=90°-45°=45°，
∴∠EDF=∠FDG=45°，
在△EDF和△GDF中，
∵

DE=DG

∠EDF=∠GDF

DF=DF

，
∴△EDF≌△GDF（SAS），
∴EF=FG，
∴EF=CF-CG=CF-AE；
②当点E在AB的延长线上时，如图3，
EF=AE-CF，理由是：
把△DAE绕点D逆时针旋转90°至△DCG，可使AD与DC重合，连接DG，
由旋转得：DE=DG，∠EDG=90°，AE=CG，
∵∠EDF=45°，
∴∠GDF=90°-45°=45°，
∴∠EDF=∠GDF，
∵DF=DF，
∴△EDF≌△GDF，
∴EF=GF，
∴EF=CG-CF=AE-CF；
综上所述，当点E不在边AB上时，EF，AE，CF三者的数量关系是：EF=CF-AE或EF=AE-CF；
故答案为：EF=CF-AE或EF=AE-CF．