在四棱锥P-ABCD中,AB//CD,E,F分别为PC,PD的中点,在底面ABCD内是否存在Q,使平面EFQ//面PAB

Question

在四棱锥P-ABCD中,AB//CD,E,F分别为PC,PD的中点,在底面ABCD内是否存在Q,使平面EFQ//面PAB

Answer 1

在底面ABCD内存在点Q,能使平面EFQ//面PAB.
分别取AD.BC中点G.H,连结EH.HG.GF
由于E,F分别为PC,PD的中点,所以易知：
EH//PB,EF//CD
又AB//CD,那么：EF//AB
这就是说平面EFGH内的两条相交直线EF、EH分别平行于平面PAB内的两条相交直线AB、PB
所以由面面平行判定定理的推论可得：
平面EFGH//平面PAB
也就是只需在底面中位线GH上任取一点Q,即可满足：平面EFQ//平面PAB