已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，BD=AD=AC，AD与CE相交于点F，AE2=EF•EC．（1）求证：∠ADC=∠DCE+∠EAF；（2）求证：AF•AD=AB•EF．

Question

已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，BD=AD=AC，AD与CE相交于点F，AE²=EF•EC．

（1）求证：∠ADC=∠DCE+∠EAF；
（2）求证：AF•AD=AB•EF．

Answer 1

证明：（1）∵BD=AD=AC，
∴∠B=∠BAD，∠ADC=∠ACD，
∵AE²=EF•EC，
∴(AE)/(CE)=(EF)/(AE)，
∵∠E=∠E，
∴△EAF∽△ECA，
∴∠EAF=∠ECA，
∴∠ADC=∠ACD=∠ACE+∠ECB=∠DCE+∠EAF；

（2）∵△EAF∽△ECA，
∴(AE)/(EF)=(AC)/(AF)，即(AF)/(EF)=(AC)/(AE)，
∵∠EFA=∠BAC，∠EAF=∠B，
∴△FAE∽△ABC，
∴(FA)/(AB)=(EF)/(AC)，
∴FA•AC=EF•AB，
∵AC=AD，
∴AF•AD=AB•EF．