如图，在△ABC中，D是AB的中点，E是边AC上一动点，联结DE，过点D作DF⊥DE交边BC于点F（点F与点B、C不重合），延长FD到点G，使DG=DF，联结EF、AG，已知AB=10，BC=6，AC=8．（1）求证：AC⊥AG；（2）

Question

如图，在△ABC中，D是AB的中点，E是边AC上一动点，联结DE，过点D作DF⊥DE交边BC于点F（点F与点B、C不重合），延长FD到点G，使DG=DF，联结EF、AG，已知AB=10，BC=6，AC=8．

（1）求证：AC⊥AG；
（2）设AE=x，CF=y，求y与x的函数解析式，并写出定义域；
（3）当△BDF是以BF为腰的等腰三角形时，求AE的长．

Answer 1

（1）证明：∵BC=6，AC=8，
∴BC²+AC²=36+64=100，
∵AB²=100，
∴BC²+AC²=AB²，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，
∵D是AB的中点，
∴AD=BD，
在△ADG和△BDF中，

AD=BD

∠ADG=∠BDF

DG=DF

∴△ADG≌△BDF，
∴∠GAB=∠B，
∵∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠B=90°，
∴∠CAB+∠GAB=90°，
∴∠EAG=90°，
即：AC⊥AG；

（2）连接EG，
∵AE=x，AC=8，
∴EC=8-x，
∵∠ACB=90°，
由勾股定理，得EF²=（8-x）²+y²，
∵△ADG≌△BDF，
∴AG=BF，
∵CF=y，BC=6，
∴AG=BF=6-y，
∵∠EAG=90°，
由勾股定理，得EG²=x²+（6-y）²，
∵DG=DF，DF⊥DE，
∴EF=EG，
∴（8-x）²+y²=x²+（6-y）²，
∴y=(4x-7)/(3)，定义域：(7)/(4)<x<(25)/(4)；

（3）①当BF=DB时，6-y=5，∴y=1，
∴1=(4x-7)/(3)，
∴x=(5)/(2)，
即AE=(5)/(2)；
②当DF=FB时，连接DC，过点D作DH⊥FB，垂足为点H，
可得DF=FB=6-y，
∵∠ACB=90°，D是AB的中点，∴DC=DB=5，
∵DH⊥FB，BC=6，∴CH=HB=3，
∴FH=3-y，
∵DH⊥FB，
由勾股定理，得DH=4，
在Rt△DHF中，可得（6-y）²=4²+（3-y）²，
解得：y=(11)/(6)，
∴(11)/(6)=(4x-7)/(3)
解得x=(25)/(8)，即AE=(25)/(8)，
综上所述，AE的长度是(5)/(2)，(25)/(8)．