如图，几何体EF-ABCD中，CDEF为边长为2的正方形，ABCD为直角梯形，AB∥CD，AD⊥DC，AD=2，AB=4，∠ADF=90°．（1）求证：AC⊥FB（2）求几何体EF-ABCD的体积．

Question

如图，几何体EF-ABCD中，CDEF为边长为2的正方形，ABCD为直角梯形，AB∥CD，AD⊥DC，AD=2，AB=4，∠ADF=90°．
（1）求证：AC⊥FB
（2）求几何体EF-ABCD的体积．

Answer 1

（1）证明：由题意得，AD⊥DC，AD⊥DF，且DC∩DF=D，
∴AD⊥平面CDEF，∴AD⊥FC，…2分
∵四边形CDEF为正方形．∴DC⊥FC
由DC∩AD=D，∴FC⊥平面ABCD
∴FC⊥AC…4分
又∵四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，AD⊥DC，AD=2，AB=4
∴AC=2√(2)，BC=2√(2)则有AC²+BC²=AB²
∴AC⊥BC
由BC∩FC=C，∴AC⊥平面FCB，
∴AC⊥FB…6分
（2）连结EC，过B作CD的垂线，垂足为N，

易见BN⊥平面CDEF，且BN=2．…8分
∵V_EF-ABCD=V_E-ABCD+V_B-ECF…9分
=(1)/(3)S△ABCD•DE+(1)/(3)S△EFC•BN=(16)/(3)…11分
∴几何体EF-ABCD的体积为(16)/(3)…12分