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(2014•江阴市二模)在正方形ABCD中,P为AB的中点,BE⊥PD的延长线于点E,连接AE、BE、FA⊥AE交DP于点F,连接BF,FC.下列结论:①△ABE≌△ADF;②FB=AB;③CF⊥DP;④FC=EF其中正确的是(
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(2014•江阴市二模)在正方形ABCD中,P为AB的中点,BE⊥PD的延长线于点E,连接AE、BE、FA⊥AE交DP于点F,连接BF,FC.下列结论:①△ABE≌△ADF; ②FB=AB;③CF⊥DP;④FC=EF
其中正确的是( )
A.①②④
B.①③④
C.①②③
D.①②③④
其中正确的是( )
A.①②④
B.①③④
C.①②③
D.①②③④
▼优质解答
答案和解析
∵正方形ABCD,BE⊥ED,EA⊥FA,
∴AB=AD=CD=BC,∠BAD=∠EAF=∠90°=∠BEF,
∵∠APD=∠EPB,
∴∠EAB=∠DAF,∠EBA=∠ADP,
∵AB=AD,
∴△ABE≌△ADF,∴①正确;
∴AE=AF,BE=DF,
∴∠AEF=∠AFE=45°,
取EF的中点M,连接AM,
∴AM⊥EF,AM=EM=FM,
∴BE∥AM,
∵AP=BP,
∴AM=BE=DF,
∴∠EMB=∠EBM=45°,
∴∠AMB=90°+45°=135°=∠AMB,
∵BM=BM,AM=MF,
∴△ABM≌△FBM,
∴AB=BF,∴②正确;
∴∠BAM=∠BFM,
∵∠BEF=90°,AM⊥EF,
∴∠BAM+∠APM=90°,∠EBF+∠EFB=90°,
∴∠APF=∠EBF,
∵AB∥CD,
∴∠APD=∠FDC,
∴∠EBF=∠FDC,
∵BE=DF,BF=CD,
∴△BEF≌△DFC,
∴CF=EF,∠DFC=∠FEB=90°,
∴③正确;④正确;
故选D.
∴AB=AD=CD=BC,∠BAD=∠EAF=∠90°=∠BEF,
∵∠APD=∠EPB,
∴∠EAB=∠DAF,∠EBA=∠ADP,
∵AB=AD,
∴△ABE≌△ADF,∴①正确;
∴AE=AF,BE=DF,
∴∠AEF=∠AFE=45°,
取EF的中点M,连接AM,
∴AM⊥EF,AM=EM=FM,
∴BE∥AM,
∵AP=BP,
∴AM=BE=DF,
∴∠EMB=∠EBM=45°,
∴∠AMB=90°+45°=135°=∠AMB,
∵BM=BM,AM=MF,
∴△ABM≌△FBM,
∴AB=BF,∴②正确;
∴∠BAM=∠BFM,
∵∠BEF=90°,AM⊥EF,
∴∠BAM+∠APM=90°,∠EBF+∠EFB=90°,
∴∠APF=∠EBF,
∵AB∥CD,
∴∠APD=∠FDC,
∴∠EBF=∠FDC,
∵BE=DF,BF=CD,
∴△BEF≌△DFC,
∴CF=EF,∠DFC=∠FEB=90°,
∴③正确;④正确;
故选D.
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