如图1，在正方形ABCD中，BD是对角线，点E在BD上，△BEG是等腰直角三角形，且∠BEG=90°，点F是DG的中点，连结EF与CF．（1）求证：EF=CF；（2）求证：EF⊥CF；（3）如图2，若等腰直角三角形△BEG

Question

如图1，在正方形ABCD中，BD是对角线，点E在BD上，△BEG是等腰直角三角形，且∠BEG=90°，点F是DG的中点，连结EF与CF．

（1）求证：EF=CF；
（2）求证：EF⊥CF；
（3）如图2，若等腰直角三角形△BEG绕点B按顺时针旋转45°，其他条件不变，请判断△CEF的形状，并证明你的结论．

Answer 1

（1）证明：∵∠BEG=90°，点F是DG的中点，
∴EF=DF=(1)/(2)DG，
∵正方形ABCD中，∠BCD=90°，点F是DG的中点，
∴CF=DF=(1)/(2)DG，
∴EF=CF；
（2）证明：∵EF=DF，CF=DF，
∴∠FDE=∠FED，∠FCD=∠FDC，
∴∠EFC=∠EFG+∠CFG=∠FDE+∠FED+∠FCD+∠FDC=2∠FDE+2∠FDC=2∠BDC，
在正方形ABCD中，∠BDC=45°，
∴∠EFC=2×45°=90°，
∴EF⊥CF；
（3）△CEF是等腰直角三角形．
理由如下：如图，延长EF交CD于H，
∵∠BEG=90°，∠BCD=90°，
∴∠BEG=∠BCD，
∴EG∥CD，
∴∠EGF=∠HDF，
∵点F是DG的中点，
∴DF=GF，
在△EFG和△HFD中，

∠EGF＝∠HDF

DF＝GF

∠EFG＝∠HFD

，
∴△EFG≌△HFD（ASA），
∴EG=DH，EF=FH，
∵BE=EG，BC=CD，
∴BC-EB=CD-DH，
即CE=CH，
∴EF⊥CF（等腰三角形三线合一），CF=EF=(1)/(2)EH，
∴△CEF是等腰直角三角形．