正方形ABCD中，AC、BD相交于点O，点E是射线AB上一点，点F是直线AD上一点，BE=DF，连接EF交线段BD于点G，交AO于点H．若AB=3，AG=5，则线段EH的长为235或435235或435．

Question

正方形ABCD中，AC、BD相交于点O，点E是射线AB上一点，点F是直线AD上一点，BE=DF，连接EF交线段BD于点G，交AO于点H．若AB=3，AG=√(5)，则线段EH的长为

(2)/(3)√(5)或(4)/(3)√(5)

(2)/(3)√(5)或(4)/(3)√(5)

．

Answer 1

由EF与线段BD相交，可知点E、F位于直线BD的两侧，因此有两种情形，如下：
①点E在线段AB上，点F在线段AD延长线上，依题意画出图形，如答图1所示：
过点E作EM⊥AB，交BD于点M，则EM∥AF，△BEM为等腰直角三角形，
∵EM∥AF，∴∠EMG=∠FDG，∠GEM=∠F；
∵△BEM为等腰直角三角形，∴EM=BE，∵BE=DF，∴EM=DF．
在△EMG与△FDG中，

∠EMG＝∠FDG

EM＝DF

∠GEM＝∠F

∴△EMG≌△FDG（ASA），
∴EG=FG，即G为EF的中点，
∴EF=2AG=2√(5)．（直角三角形斜边上的中线长等于斜边长的一半）

设BE=DF=x，则AE=3-x，AF=3+x，
在Rt△AEF中，由勾股定理得：AE²+AF²=EF²，即（3-x）²+（3+x）²=（2√(5)）²，
解得x=1，即BE=DF=1，
∴AE=2，AF=4，
∴tan∠F=(1)/(2)．
设EF与CD交于点K，则在Rt△DFK中，DK=DF•tan∠F=(1)/(2)，
∴CK=CD-DK=(5)/(2)．
∵AB∥CD，∴(AH)/(CH)＝(AE)/(CK)＝(2)/((5)/(2))＝(4)/(5)，
∵AC=AH+CH=3√(2)，∴AH=(4)/(9)AC=(4)/(3)√(2)．
过点H作HN∥AE，交AD于点N，则△ANH为等腰直角三角形，∴AN=(√(2))/(2)AH=(4)/(3)．
∵HN∥AE，∴(EH)/(EF)＝(AN)/(AF)，即(EH)/(2√(5))＝((4)/(3))/(4)，
∴EH=(2)/(3)√(5)；
②点E在线段AB的延长线上，点F在线段AD上，依题意画出图形，如答图2所示：

同理可求得：EH=(4)/(3)√(5)．
综上所述，线段EH的长为(2)/(3)√(5)或(4)/(3)√(5)．
故答案为：(2)/(3)√(5)或(4)/(3)√(5)．